Blog sobre Filosofia Contemporânea das Ciências

 O professor Amadeo Peter Hiller --em um artigo intitulado "A matemática e o infinito" para o Suplemento Cultural  do jornal "O Estado de São Paulo", datado de 16/04/1978, Ano II, Número 78, pp. 9-10-- apresenta, de modo didático e concisamente, os principais pontos propostos pelo projeto de Hilbert para a fundamentação da matemática, a saber: "Dividir o universo das proposições matemáticas em duas partes, as que se referem a objetos finitários 'reais' e as que se referem aos objetos infinitários 'ideais'." "Dado um raciocínio em que se demonstra uma proposição real a partir de hipóteses 'reais', mas em que no meio do arrazoado foram usadas proposições referentes a objetos 'ideais', mostrar que existe um raciocínio diverso, provando a mesma conclusão a partir das mesmas hipóteses, em que não aparecem proposições 'ideais'." "Fazer o anterior usando métodos matemáticos insofismáveis, i.e., finitários, e,...

  Há uma certa simetria, de um ponto de vista epistêmico, entre a posição filosófica de Hilbert e os formalistas sobre o logicismo e a posição de Brouwer e os intuicionistas. Haja vista que, Hilbert admite a importância fundamental da lógica ( clássica ) e da construção de um sistema formal axiomático, cuja consistência seja provada (por métodos finitários/construtivos), contudo não reconhece a relevância do conceito de verdade . Brouwer, por outro lado, admite o conceito de verdade , mas rejeita a necessidade e o status epistêmico da lógica e, inclusive, a possibilidade de formalização das diversas áreas da matemática.      Não obstante, temos os trabalhos posteriores elaborados por Heyting com o objetivo de apresentar um sistema formal axiomático para a fundamentação da aritmética intuicionista, bem como de uma lógica intuicionista ( não clássica) que representasse as ideias do projeto intuicionista Brouweriano.      Cabe observar que, a p...

 A crítica de Brouwer é dirigida ao conceito de infinito atual na matemática. Com efeito, afirma Brouwer, o infinito não deve ser definido como 'totalidade dada' (i.e., infinito atual ); deve ser entendido, exclusivamente, como possibilidade em uma sucessão ilimitada, ou seja, como infinito potencial . Como consequência imediata dessa posição temos a rejeição da legitimidade geral do princípio do terceiro excluído . Este princípio estabelece o seguinte: dada uma sentença 'φ' vale a asserção ' φ v ~φ ' (em outros termos, ou a sentença φ é verdadeira  ou a sua negação é verdadeira  de modo exclusivo)  . De acordo com a doutrina intuicionista Brouweriana, este princípio não pode ser considerado como irrestritamente válido com relação a domínios infinitos de objetos.     Considere-se, p. ex., uma sentença da forma: 'Existe um número natural n com a propriedade F  '. (*)     A análise intuicionista requer que a sentença (*) acima s...

  O professor Amadeo Peter Hiller, em um artigo escrito para o Suplemento Cultural do jornal "O Estado de São Paulo", datado de 04/12/1977 [nº. 60/ano II], pp. 10-11, observa que:     "Querendo, ..., restabelecer o status  da Matemática como ciência perfeita e livre de erros, o matemático holandês L. E. J. Brouwer (1881-1966), no início da década de 1900, colocou a posição intuicionista. Trata-se de uma espécie de volta às origens da Matemática, rejeitando uma série de construções e raciocínios generalizantes obtidos durante os séculos, para assim evitar problemas com entes infinitários e com os paradoxos. Brouwer reputava estas dificuldades como sendo pseudoproblemas surgidos do abuso de certos raciocínios, válidos para entidades finitárias mas não para outras, e pela introdução na Matemática de objetos que, para ele, não devem ser tratados por esta ciência. ...  Pretendo agora dar um exemplo bem simples de um problema, aparentemente inócuo, onde é necessário t...

 1.    O intuicionismo (ou construtivismo), uma das doutrinas finitistas para a fundamentação da matemática, pode ser considerado a mais influente doutrina da filosofia conceptualista  do número.     Kant é o precursor da corrente conceptualista relativa à aritmética uma vez que, sustentava que as leis da aritmética elementar eram a priori  e sintéticas [veja neste blog postagens anteriores sobre a categorização de juízos sintéticos a priori] . De acordo com Kant, o conhecimento das leis do número consiste em uma atividade cognitiva essencialmente interna ao sujeito cognoscente, i.e., independente de qualquer conteúdo informativo extra-conceitual. Em outras palavras, o conhecimento matemático é a priori , visto que não é justificável pela experiência sensorial sendo, no entanto,  sintético , pois não seria, de acordo com Kant, justificável estritamente pelo modo de entender os significados dos termos utilizados na linguagem matemática....

  3.      Sobre  a inconsistência do sistema original Fregeano consulte o seguinte link: A inconsistência dos Grundgesetze     A Lei Básica V é geralmente aceita como a fonte da inconsistência do sistema dos Grundgesetze , entretanto, a questão da inconsistência é mais complexa tendo em vista que Terence Parsons demonstrou, no final da década de 80, que o fragmento de I ordem dos  Grundgesetze  é consistente. Isto significa que, a prova de inconsistência apresentada por Russell [veja a demonstração no link acima], somente se aplica ao sistema de II ordem dos  Grundgesetze.     No início da década de 80, Crispin Wright propôs um enfoque logicista neo-Fregeano no qual o princípio de Hume [veja a postagem anterior (parte I)] é admitido como analítico  e, consequentemente, seria uma condição suficiente para estabelecer uma justificação epistêmica de caráter (neo-)logicista para a aritmética elementar. No final da década de...

  1.    No prefácio dos Principia Mathematica  (1910-13) de Russell-Whitehead destacam-se os dois objetivos principais do projeto logicista  de fundamentação lógica da matemática: "provar que a matemática pura trata exclusivamente com conceitos definíveis em termos de um número reduzido de conceitos lógicos fundamentais, e que todas as suas proposições são deriváveis formalmente de um número reduzido de princípios lógicos  fundamentais." [minha ênfase]. "a explicação dos conceitos fundamentais que a matemática admite como indefiníveis constitui uma tarefa essencialmente filosófica."     Cabe assinalar que (1) expressa os objetivos de: justificação epistêmica de logicidade dos conceitos básicos da matemática e a demonstração metalógica da analiticidade dos axiomas matemáticos. O primeiro requer uma teoria epistemológica reducionista  enquanto o último pressupõe uma metateoria lógica que estabeleça formalmente a derivação dos axioma...

 Apresentação: "Sobre o alcance da epistemologia" Link:  Sobre o alcance da Epistemologia

 Link da apresentação:  Sobre conceitos de conhecimento a priori/a posteriori e juízos analítico/sintético

 A oposição calculus ratiocinator versus characteristica universalis  como apresentada na postagem anterior tem um caráter absoluto , com base em um resultado estabelecido recentemente por mim (veja postagem, neste blog, sobre a publicação dos Proceedings of the 19th Brazilian Logic Conference - XIX EBL , no Journal of Applied Logics - IFCoLog Journal of Logics and their Applications , Vol. 9 N. 1, 2022, do paper intitulado: "A note on Tarski´s remarks about the non-admissibility of a general theory of semantics", pp. 573-582), pois a partir do seguinte pressuposto: 'toda metalinguagem consiste em uma linguagem que admite, como objeto, outra linguagem (denominada de linguagem-objeto)'; nesta acepção, poderíamos indagar sobre a possibilidade de uma metalinguagem última , que desempenharia o papel de uma linguagem universal . Como o resultado estabelecido é bastante técnico, estou me restringindo apenas a algumas consequências filosófico-conceituais da demonstração da...

 O professor Nelson Gomes no capítulo sobre "Neopositivismo e linguagem" - da coletânea Filosofia da Linguagem organizada por Peruzzo Jr., L. & Valle, B. (2016) da PUC PRESS - observa que: "Seguindo certas ideias formuladas pelo historiador da lógica Jean van Heijenoort (1912-86), o lógico finlandês Jaakko Hintikka formulou uma distinção entre duas concepções de linguagem que, segundo ele, seria uma pressuposição última na filosofia do século XX. Trata-se da distinção entre a linguagem como meio universal , de um lado, e da linguagem como calculus ratiocinator (cálculo de raciocínio), de outro (Hintikka, 1997)."[veja referência abaixo]. Na referência acima, Gomes (2016) acrescenta que na concepção acerca da qual a linguagem constitui um 'meio universal' exclui-se, necessariamente, a possibilidade de uma metalinguagem e, por conseguinte, impede-se a construção de qualquer espécie de teoria semântica . Gomes cita como advogados dessa tese: Frege, Russ...

 Os Proceedings  do XIX Encontro Brasileiro de Lógica, realizado em João Pessoa - PB, em maio de 2019 foi publicado no  Journal of Applied Logics - IfCoLog Journal .   Volume 9-1: Volume 9, Number 1: January 2022   Disponível para download (gratuito) no seguinte link: Proceedings of XIX EBL

  Apresentação : "Sobre o método dedutivo e a falseabilidade de hipóteses de acordo com Popper" https://1drv.ms/p/s!Ai8LADHW0t6yzXGBVcBmlaIepZfr?e=r2PEXv