Resumo:

Na seção inicial desta postagem apresento um ensaio que aborda o conceito de teoria científica, definindo-a como um conjunto de sentenças organizadas hierarquicamente em conceitos primitivos, definições, axiomas e teoremas. Faz-se uma contraposição ao conceito de modelo. Destacando-se a importância de uma estrutura lógica e de regras de interpretação empírica para atribuir conteúdo às teorias. Exemplos incluem as leis da mecânica newtoniana e modelos matemáticos aplicados a diferentes áreas, como p. ex. física, estatística e termologia. O ensaio também discute os requisitos para uma teoria científica, como correção sintática, sistematicidade, exatidão linguística, interpretabilidade empírica, coerência externa, poder explanatório, poder de previsão, escrutabilidade, refutabilidade e confirmabilidade. Na seção final, apresento um texto gerado pelo Copilot sobre modelos matemáticos aplicados à física e à IA.

Sobre o conceito de teoria versus modelo

Podemos definir, de modo técnico, uma teoria como um conjunto de sentenças (enunciados que admitem um valor-verdade) expressável em uma linguagem (natural ou formalizada).

Esse conjunto de sentenças deve ser, via de regra, organizado de acordo com algum procedimento estruturante sob a forma de uma hierarquia: conceitos primitivos, definições, axiomas e teoremas (e corolários) no caso de uma teoria matemática por exemplo. No caso de uma teoria física, temos: conceitos primitivos, definições e princípios nomológicos.

Granger (1994) denomina de teoria “um conjunto de enunciados, atualmente formulados ou potencialmente formuláveis. Este conjunto deve ser fechado para certos procedimentos de dedução que lhes são próprios, ou seja, toda sentença deduzida de sentenças pertencentes à teoria deve ser também uma sentença da teoria.” Por exemplo, considere as leis da mecânica newtoniana:

1. Lei I: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele.

2. Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada.

3. Lei III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.

Newton obteve a partir destas três leis fundamentais do movimento outras consequências básicas como, por exemplo, a chamada ‘lei da conservação do momento linear’ [na mecânica clássica, o momento linear (ou quantidade de movimento) expressa o produto da massa pela velocidade de um objeto].

Assim, como este conjunto de leis é fechado sob dedução, segue-se que o princípio acima pertence necessariamente à teoria de Newton.

De acordo com Suppes, P. (1967): “uma teoria científica é constituída de duas partes. A primeira é um cálculo lógico abstrato. Além do alfabeto da lógica, esse cálculo inclui os símbolos primitivos da teoria, cuja estrutura lógica subjacente é estabelecida por meio dos enunciados de axiomas ou postulados, ... [A] segunda parte da teoria é um conjunto de regras que atribuem conteúdo empírico ao cálculo lógico, fornecendo as denominadas definições coordenadoras ou interpretações empíricas de pelo menos alguns dos termos primitivos e definidos pelo cálculo.”

___________________

Referência: Suppes, P. (1967) “What is a scientific theory?” In S. Morgenbesser (Ed.), Philosophy of science today. Basic Books, pp. 55-67.

Observações:

• Como podemos ver, nesta definição proposta por Suppes, toda teoria (factual) está associada aos conceitos básicos de cálculo formalizado, termos primitivos, postulados

(ou princípios nomológicos) e interpretação empírica;

• De uma maneira geral, devemos considerar os seguintes aspectos característicos comuns às teorias empíricas: a base formal e as regras de interpretação;

• Em concordância com este ponto de vista, Nagel (1974) assinala que há três categorias básicas para a análise de teorias científicas (factuais), a saber, um cálculo simbólico (para as noções elementares), um conjunto de regras que correlaciona um conteúdo informativo empírico a esse cálculo e uma forma de interpretação por intermédio de uma base conceitual.

• Suppes reconhece que, geralmente, quando falamos sobre teorias do ponto de vista semântico, p.ex., da física, estamos falando de modelos matemáticos que, por sua vez, se referem a entidades teoréticas extra-linguísticas e com frequência independentes de quaisquer meios de observação.

• A terceira categoria apresentada por Nagel, i. e., uma forma de interpretação por intermédio de uma base conceitual, permite-nos uma definição mais precisa do conceito de modelo (parametrizado): “Seja P um conjunto de postulados; seja P* um conjunto de enunciados obtidos pela substituição de cada variável de predicado de P por um predicado que seja significativo para uma classe dada de elementos K; e, finalmente, suponhamos que P* seja formado somente por sentenças verdadeiras com respeito aos elementos de K. Dessa forma, um modelo (parametrizado) para P consiste no conjunto P* ou, alternativamente, no sistema caracterizado pelo conjunto de elementos K acrescido das propriedades e relações designadas pelos predicados de P*”.

__________________

• Referência: Nagel, E. (1974) La structura de la ciência. Ed. Paidos, cap. V, pp. 93-

94.

Conceito de objeto-modelo

• Seja o seguinte sistema abstrato (algébrico) de axiomas:

✓ 𝐴₁ 𝑆 ≠ ∅

✓ 𝐴₂ (𝑖) 𝐹: 𝑆 ⟶ ℝ; (𝑖𝑖) 𝐺: 𝑆 × 𝑆 ⟶ ℝ; (𝑖𝑖𝑖) 𝐻: 𝑆 × 𝑆 ⟶ ℝ

✓ 𝐴₃ 𝑠, 𝑠^′∈ 𝑆 ⟹ 𝐻 (𝑠, 𝑠^′) = ℎ ∈ ℝ

✓ 𝐴₄ (𝑖) ∗: ℝ × ℝ ⟶ ℝ; (𝑖𝑖) −: ℝ × ℝ ⟶ ℝ

✓ 𝐴₅ 𝑠, 𝑠^′∈ 𝑆 ⟹ 𝐺 (𝑠, 𝑠^′) = ℎ ∗ [𝐹(𝑠^′) − 𝐹(𝑠)]

• O sistema formal acima pode ser interpretado matematicamente como:

1. 𝑖𝑛𝑡 𝐴₁: 𝑆 é um conjunto não-vazio;

2. 𝑖𝑛𝑡 𝐴₂: (𝑖) 𝐹 é uma função com valores reais sobre S; (𝑖𝑖) 𝐺 é uma função de valores reais sobre o conjunto dos pares de elementos de S;

3. 𝑖𝑛𝑡 𝐴₃: 𝐻 é a função constante, com valor real h, sobre 𝑆 × 𝑆;

4. 𝑖𝑛𝑡 𝐴₄: ∗ é o produto aritmético em ℝ [conjunto dos números reais] e − é a subtração em ℝ;

5. 𝑖𝑛𝑡 𝐴₅: para quaisquer s e s’ pertencentes a S, 𝐺 (𝑠, 𝑠^′) = ℎ∗ [𝐹(𝑠^′) − 𝐹(𝑠)].

• Interpretação Física 𝑖𝑛𝑡𝓕:

1. 𝑖𝑛𝑡ℱ (𝑠): ponto sobre um circuito de corrente contínua;

2. 𝑖𝑛𝑡ℱ [𝐹(𝑠)]: potencial elétrico em s;

3. 𝑖𝑛𝑡ℱ [𝐺 (𝑠, 𝑠^′)]: intensidade da corrente elétrica entre s e s’;

4. 𝑖𝑛𝑡ℱ [𝐻 (𝑠, 𝑠^′)]: condutividade elétrica entre s e s’.

• Observação: vale destacar que há, como assinala Bunge (1974), “inúmeras outras interpretações concretas do mesmo formalismo. Por exemplo, se interpretarmos S como o conjunto dos corpos físicos, F como a temperatura, G como a quantidade de calor por unidade de massa e H como o calor específico, obtemos o núcleo de termologia.” [meus itálicos].

___________

Referência Bibliográfica: Bunge (1974) “Teoria e Realidade”; Ed. Perspectiva

Esquema Geral de Teorias

◦ A definição a seguir foi extraída de Bunge (1969). Considere-se, inicialmente, o seguinte esquema geral para a representação de uma teoria:

· Teoria:

1. Estrutura E = (Å, C) simboliza o sistema sintático [i.e., a teoria abstrata];

2. Modelo M(E) = (Å, Σ, C) simboliza o modelo semântico da estrutura [i.e., a teoria interpretada].

Os símbolos Å, C, Σ denotam, respectivamente, o conjunto de axiomas, a relação de consequência lógica e o conjunto de regras de interpretação.

Obs.: o número de modelos M(E) de uma dada estrutura E é equivalente ao número de conjuntos Σ [de regras de interpretação].

Exemplo:

◦ O exemplo a seguir foi extraído de Bunge (1969). Modelos para a Teoria (axiomática) Probabilística de Kolmogorov. Sejam dados os seguintes conjuntos de base da estrutura: U o conjunto (não-vazio) de termos primitivos; S(U) o conjunto de todos os subconjuntos (não-vazios) de U; e P a função definida sobre S(U). Os axiomas de Kolmogorov são:

I. Para todo conjunto A da coleção de subconjuntos (não-vazios) S(U), P(A)≥0;

II. P(U) = 1, i.e., a probabilidade de U é igual a 1;

III. Para todo A (não-vazio) e para todo B (não-vazio) de S(U), a medida da probabilidade de dois conjuntos cuja intersecção é vazia é igual à soma de suas medidas separadas.

Obs.: Exemplo para o caso em que P(A) = 0: considere o evento hipotético de entropia máxima em um dado sistema fechado, neste caso a quantidade de informação é nula.

Algumas interpretações possíveis para o cálculo probabilístico de Kolmogorov;

Interpretação estatística:

• Σ(U) = conjunto de eventos de uma dada classe.

• Σ[P(A)] = frequência relativa dos eventos A no universo U.

Interpretação física:

◦ Σ(U) = conjunto de dados empíricos de uma dada classe.

◦ Σ[P(A) = probabilidade de obtenção dos dados A de certa espécie.

Interpretação ontológica:

◦ Σ(U) = conjunto dos fenômenos possíveis de uma dada classe.

Σ[P(A)] = peso da probabilidade de A.

____________________________

• Referência bibliográfica: Bunge (1969) La investigación científica. Ediciones Ariel, Barcelona.

Características principais das teorias científicas de acordo com Bunge (1974)

Requisitos sintáticos:

1. Correção sintática: “as proposições da teoria devem ser bem formadas e mutuamente coerentes ... com a ajuda da lógica, se é que a teoria deve ser significativa e se é que deve referir-se a um domínio definido de fatos”;

2. Sistematicidade: “A teoria deve ser um sistema conceitual unificado (i.e., seus conceitos devem ‘permanecer unidos’) se é que se pretende chamá-la de teoria em geral; e se é que deve enfrentar como um todo testes empíricos e teóricos – i.e., se é que o teste de qualquer de suas partes deve ser relevante para o resto da teoria, de tal maneira que se possa eventualmente firmar um juízo sobre a corroboração ou falsificação da teoria como um todo”

Requisitos semânticos:

1. Exatidão linguística: “A ambiguidade, imprecisão e obscuridade dos termos específicos têm de ser mínimas, a fim de assegurar a Interpretabilidade empírica e a aplicabilidade da teoria.”;

2. Interpretabilidade empírica: “Deve ser possível derivar das assunções da teoria – em conjunção com bits de informações específicas – proposições que poderiam ser comparadas às proposições observacionais, de modo a decidir a conformidade da teoria com o fato.”;

3. Representatividade: “É desejável que a teoria represente, ou melhor, reconstrua eventos reais e processos, e não os descreva simplesmente, e preveja seus efeitos macroscópicos observáveis. A fim de ser representacional – em oposição ao fenomenológico - ... . É suficiente que alguns dos símbolos que ocorrem nos postulados da teoria tenham um sentido literal ao serem correlacionados com propriedades reais (diafenômenos) ou essenciais do referente da teoria. Em outros termos, é suficiente assumir que alguns de seus predicados básicos representem traços de entidades efetivamente reais ... .”

Requisitos epistemológicos:

1. Coerência externa: “a teoria deve ser coerente com a massa de conhecimento aceito, se é que deve encontrar apoio em algo mais do que apenas seus exemplos, se é que deve ser considerada como acréscimo ao conhecimento e não como um corpo estranho.”;

2. Poder explanatório: “a teoria deve resolver os problemas propostos pela explicação dos fatos [aspecto ontológico] e pelas generalizações empíricas [aspecto epistêmico], se existirem, de um dado domínio e precisa fazê-lo da maneira mais exata possível.”;

3. Poder de previsão: “a teoria deve, no mínimo, prever aqueles fatos que ela pode explicar após o evento. Mas, se possível, a teoria deveria também prever fatos e relações novos e insuspeitos .... Em outros termos, o poder de previsão pode ser analisado na soma da capacidade de prever uma classe conhecida de fatos, e o poder de prognosticar ‘efeitos’ novos, i.e., fatos de uma espécie não esperada em teorias alternativas.”.

Requisitos metodológicos:

1. Escrutabilidade [condição de ser investigável]: “não só os predicados que aparecem na teoria devem ser abertos à investigação empírica pelo público e ao método autocorretivo da ciência ..., mas é preciso também que os pressupostos metodológicos da teoria sejam controláveis. Tais exigências tornam suspeitas: (a) evidências de um tipo que apenas uma dada teoria aceitaria e (b) técnicas, testes e pretensos modos de conhecimento que — .... ― não podem ser controlados por meios alternativos e não levam a conclusões válidas inter-subjetivamente, ou no mínimo a conclusões arguíveis.”;

2. Refutabilidade: “deve ser possível imaginar casos ou circunstâncias que pudessem refutar a teoria. Do contrário, não seria possível planejar testes genuínos e poder-se-ia considerar a teoria como logicamente verdadeira, i.e., como verdadeira, haja o que houver – portanto, como empiricamente vazia.”;

3. Confirmabilidade: “a teoria deve ter consequências particulares que podem concordar com a observação (dentro de limites tecnicamente razoáveis). E, por certo, a confirmação efetiva numa ampla extensão deverá ser exigida para a aceitação de toda teoria. A insistência na confirmação como único critério tentado (indutivismo) abre a porta a teorias repletas de predicados vagos e inescrutáveis ...”.

____________________

Referência Bibliográfica: Bunge (1974) “Teoria e Realidade”; Ed. Perspectiva

__________________________________________________________________

O texto subsequente sobre modelos matemáticos e aplicações no âmbito de teorias da física e da IA foi gerado pelo Copilot.

Link:

https://copilot.microsoft.com/shares/azdi5HqmrdQTuNeXCakn6

Modelos Matemáticos e suas Aplicações na Física e na Inteligência Artificial

Introdução

Modelos matemáticos são representações abstratas que descrevem sistemas complexos por meio de equações, matrizes e estruturas algorítmicas. Na física, esses modelos traduzem leis naturais em expressões matemáticas que permitem prever comportamentos de partículas, campos e sistemas macroscópicos. No campo da inteligência artificial (IA), os modelos matemáticos servem de alicerce para algoritmos capazes de aprender padrões, realizar inferências e tomar decisões. Este ensaio explora como a matemática fundamenta essas duas áreas, destacando suas intersecções e particularidades.

Modelos Matemáticos na Física

Mecânica Clássica

Na mecânica clássica, a formulação newtoniana expressa a segunda lei de Newton por meio de equações diferenciais ordinárias:
[ m \cdot \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, t). ]
Esse modelo permite prever trajetórias de objetos sob forças conhecidas, como gravitação e resistência do ar. A resolução analítica de tais equações, quando possível, fornece soluções fechadas, enquanto métodos numéricos — por exemplo, Runge-Kutta — tratam casos mais complexos.

Eletrodinâmica

As equações de Maxwell formam um conjunto de equações diferenciais parciais que descrevem o comportamento de campos elétricos e magnéticos:
[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \times \mathbf{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mu_0 \mathbf{J}. ]
Por meio dessas equações, é possível modelar propagação de ondas eletromagnéticas, radiação de antenas e fenômenos ópticos. Simulações em malhas discretas, como o método dos elementos finitos, ajudam a resolver problemas de geometria complexa.

Mecânica Quântica

Na física quântica, o estado de um sistema é descrito por funções de onda (\psi) que satisfazem a equação de Schrödinger:
[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi. ]
Operadores hermitianos e espaços de Hilbert tornam a modelagem mais abstrata, mas altamente poderosa para prever energias, probabilidades de transição e espalhamento de partículas. A teoria quântica de campos amplia esse formalismo para inúmeras partículas e interações fundamentais.

Modelos Matemáticos na Inteligência Artificial

Estatística e Probabilidade

Grande parte dos algoritmos de IA baseia-se em estatística. Modelos de regressão linear e logística usam funções de custo que medem discrepâncias entre previsões e dados reais, por exemplo:
[ J(\mathbf{w}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}_i\bigr)^2. ]
Processos estocásticos e cadeias de Markov permitem modelar sequências temporais, discretas ou contínuas, e inferir distribuições latentes.

Redes Neurais Artificiais

Redes neurais usam camadas de nós (neurônios) onde cada unidade calcula
[ a^{(l)} = \sigma\bigl(W^{(l)} a^{(l-1)} + b^{(l)}\bigr), ]
em que (\sigma) é uma função de ativação não linear. O aprendizado se dá por gradiente descendente, ajustando pesos (W) e vieses (b) para minimizar uma função de perda. Arquiteturas profundas conseguem representar funções altamente complicadas e extrair características relevantes de dados brutos, como imagens e texto.

Otimização Matemática

Tanto em física quanto em IA, muitos problemas reduzem-se a otimização de alguma função de custo. Métodos como gradiente estocástico, Newton e algorítmos evolutivos encontram mínimos (ou máximos) dessa função em espaços de alta dimensão. No contexto de IA, a escolha do otimizador impacta diretamente a velocidade de convergência e a qualidade do modelo final.

Tabela Comparativa de Modelos em Física e IA

Aspecto	Física	Inteligência Artificial
Tipo de Equações	Diferenciais ordinárias e parciais	Funções de custo e derivações parciais
Espaço de Estados	Contínuo (posições, velocidades, campos)	Discreto ou contínuo (features, ativação)
Métodos Numéricos	Runge-Kutta, elementos finitos, Monte Carlo	Gradiente descendente, MP e Adam
Objetivo	Predição de fenômenos e validação de teorias	Aprendizado de padrões e generalização
Representação	Funções de onda, campos vetoriais	Redes neurais profundas

Convergências e Sinergias

Ambas as áreas compartilham ferramentas de otimização e simulação numérica. O método de Monte Carlo, originalmente desenvolvido em física estatística, hoje é amplamente usado em aprendizado de máquina para integração numérica e amostragem de distribuições complexas. Técnicas de mecânica quântica inspiram pesquisas em computação quântica, que por sua vez prometem acelerar algoritmos de IA. Além disso, o formalismo de física estatística fundamenta modelos probabilísticos de redes bayesianas e grafos de fator.

Desafios e Perspectivas Futuras

Modelar sistemas quânticos de grande escala exige supercomputação e algoritmos mais eficientes. Em IA, o desafio está em interpretar e explicar decisões de redes profundas, tema conhecido como “interpretabilidade”. A fusão entre métodos de física e IA motiva áreas emergentes como aprendizado físico (physics-informed learning), onde equações diferenciais conhecidas são incorporadas no treinamento de redes neurais para impor consistência com leis físicas.

Conclusão

Modelos matemáticos são o elo que une física e inteligência artificial, permitindo a compreensão profunda de fenômenos naturais e o desenvolvimento de sistemas computacionais inteligentes. A riqueza de técnicas – de equações diferenciais a métodos de otimização – mostra como a matemática serve de linguagem universal para descrever e manipular o mundo físico e o mundo dos dados. À medida que os domínios convergem, surgem novas oportunidades para avançar tanto o entendimento científico quanto a capacidade tecnológica de forma integrada.

Leituras Recomendadas

“Mathematical Methods for Physicists” de George B. Arfken
“Deep Learning” de Ian Goodfellow, Yoshua Bengio e Aaron Courville
Artigos sobre learning physics-informed neural networks (PINNs)

Blog sobre Filosofia Contemporânea das Ciências

Fundamentos Lógico-epistêmicos da IA - Parte II