Blog sobre Filosofia Contemporânea das Ciências

 A crítica de Brouwer é dirigida ao conceito de infinito atual na matemática. Com efeito, afirma Brouwer, o infinito não deve ser definido como 'totalidade dada' (i.e., infinito atual ); deve ser entendido, exclusivamente, como possibilidade em uma sucessão ilimitada, ou seja, como infinito potencial . Como consequência imediata dessa posição temos a rejeição da legitimidade geral do princípio do terceiro excluído . Este princípio estabelece o seguinte: dada uma sentença 'φ' vale a asserção ' φ v ~φ ' (em outros termos, ou a sentença φ é verdadeira  ou a sua negação é verdadeira  de modo exclusivo)  . De acordo com a doutrina intuicionista Brouweriana, este princípio não pode ser considerado como irrestritamente válido com relação a domínios infinitos de objetos.     Considere-se, p. ex., uma sentença da forma: 'Existe um número natural n com a propriedade F  '. (*)     A análise intuicionista requer que a sentença (*) acima s...

  O professor Amadeo Peter Hiller, em um artigo escrito para o Suplemento Cultural do jornal "O Estado de São Paulo", datado de 04/12/1977 [nº. 60/ano II], pp. 10-11, observa que:     "Querendo, ..., restabelecer o status  da Matemática como ciência perfeita e livre de erros, o matemático holandês L. E. J. Brouwer (1881-1966), no início da década de 1900, colocou a posição intuicionista. Trata-se de uma espécie de volta às origens da Matemática, rejeitando uma série de construções e raciocínios generalizantes obtidos durante os séculos, para assim evitar problemas com entes infinitários e com os paradoxos. Brouwer reputava estas dificuldades como sendo pseudoproblemas surgidos do abuso de certos raciocínios, válidos para entidades finitárias mas não para outras, e pela introdução na Matemática de objetos que, para ele, não devem ser tratados por esta ciência. ...  Pretendo agora dar um exemplo bem simples de um problema, aparentemente inócuo, onde é necessário t...

 1.    O intuicionismo (ou construtivismo), uma das doutrinas finitistas para a fundamentação da matemática, pode ser considerado a mais influente doutrina da filosofia conceptualista  do número.     Kant é o precursor da corrente conceptualista relativa à aritmética uma vez que, sustentava que as leis da aritmética elementar eram a priori  e sintéticas [veja neste blog postagens anteriores sobre a categorização de juízos sintéticos a priori] . De acordo com Kant, o conhecimento das leis do número consiste em uma atividade cognitiva essencialmente interna ao sujeito cognoscente, i.e., independente de qualquer conteúdo informativo extra-conceitual. Em outras palavras, o conhecimento matemático é a priori , visto que não é justificável pela experiência sensorial sendo, no entanto,  sintético , pois não seria, de acordo com Kant, justificável estritamente pelo modo de entender os significados dos termos utilizados na linguagem matemática....

  3.      Sobre  a inconsistência do sistema original Fregeano consulte o seguinte link: A inconsistência dos Grundgesetze     A Lei Básica V é geralmente aceita como a fonte da inconsistência do sistema dos Grundgesetze , entretanto, a questão da inconsistência é mais complexa tendo em vista que Terence Parsons demonstrou, no final da década de 80, que o fragmento de I ordem dos  Grundgesetze  é consistente. Isto significa que, a prova de inconsistência apresentada por Russell [veja a demonstração no link acima], somente se aplica ao sistema de II ordem dos  Grundgesetze.     No início da década de 80, Crispin Wright propôs um enfoque logicista neo-Fregeano no qual o princípio de Hume [veja a postagem anterior (parte I)] é admitido como analítico  e, consequentemente, seria uma condição suficiente para estabelecer uma justificação epistêmica de caráter (neo-)logicista para a aritmética elementar. No final da década de...