Chat GPT & Chat Sonic - um exemplo de experimento: 'o teorema da indefinibilidade da verdade de Tarski, o teorema da incompletude da Aritmética de Gödel e uma prova da Conjectura de Tarski' - Parte I

 Gostaria de compartilhar um experimento recente, utilizando ambos os sistemas de I.A. (Chat GPT e Chat Sonic), por meio do qual pude avaliar o grau de "compreensão" e capacidade de respostas a certas questões das áreas de lógica-matemática e fundamentos da matemática. Nesta postagem, em particular, venho publicar algumas das respostas obtidas, inicialmente, pelo Chat GPT bem como de alguns comentários sobre essas respostas.

1ª. Pergunta: Explain Tarski's theorem of undefinability of truth? Resposta Chat GPT: Tarski's theorem of undefinability of truth states that it is impossible to provide a definition of truth in a formal language that is both consistent and complete. This is because any attempt to define truth in a formal language will necessarily lead to paradoxes. Tarski's theorem holds that a definition of truth must be provided outside of the language in order to be consistent and complete. This means that a definition of truth must be provided in a meta-language, which is a language that is used to discuss and analyze another language. This theorem has implications for the use of formal languages in fields such as mathematics and computer programming, where a precise definition of truth is essential. 2ª. Pergunta: Explain Gödel's theorem of incompleteness of Peano Arithmetic? Resposta Chat GPT: Gödel's theorem of incompleteness of Peano Arithmetic states that there are statements within Peano Arithmetic that are true, but cannot be proven within the system. This theorem holds that Peano Arithmetic is incomplete, which means that there are statements that are true, but cannot be proven within the system. This has implications for the use of formal systems in mathematics and computer programming, as it shows that any system of formal logic is inherently limited in its ability to determine truth. 3ª. Pergunta: We can prove that Tarski's theorem of undefinability of truth implies Gödel's theorem of incompleteness of Peano Arithmetic? If yes, how to state this proof? Resposta Chat GPT: Yes, it is possible to prove that Tarski's theorem of undefinability of truth implies Gödel's theorem of incompleteness of Peano Arithmetic. The proof can be stated as follows: If Tarski's theorem of undefinability of truth is true, then it follows that any attempt to define truth in a formal language will necessarily lead to paradoxes. Therefore, it is impossible to provide a definition of truth in a formal language that is both consistent and complete. Since Peano Arithmetic is a formal language, it follows that it is also impossible to provide a definition of truth within Peano Arithmetic that is both consistent and complete. Therefore, Peano Arithmetic is incomplete, which means that there are statements that are true, but cannot be proven within the system. This proves that Tarski's theorem of undefinability of truth implies Gödel's theorem of incompleteness of Peano Arithmetic.

Observações (sobre as respostas dadas): as duas primeiras perguntas foram respondidas de modo satisfatório. A terceira questão foi respondida afirmativamente (o que está correto), mas, tecnicamente, a 'ideia' da prova é precária, haja vista que o ponto principal da referida prova consiste no fato de que, por meio da função diagonal (representável na Aritmética elementar), podemos mostrar que: seja A o conjunto dos axiomas de Peano (A está contido (estritamente) em Th(N), onde Th(N) denota o conjunto de sentenças verdadeiras na teoria elementar dos números), como os conceitos de axioma, demonstração e teorema são todos definíveis em N, via aritmetização, segue-se que se toda sentença verdadeira em N for teorema na aritmética de Peano (e vice-versa), então a noção de verdade seria definível em N, o que contradiz o teorema de Tarski. Logo, há sentenças indecidíveis, o que implica na incompletude da aritmética de Peano.

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4ª Pergunta: Explain Tarski's Conjecture about the non-admissibility of a general semantics for formalized languages? Resposta Chat GPT: Tarski's Conjecture states that a general semantics for formalized languages cannot be admissible. This is because the language of such formalized languages is too small to allow for the complexity of meaning that is required for a general semantics. A general semantics would require an infinite number of terms to capture the nuances of meaning, which is impossible in a formalized language. Therefore, a general semantics cannot be consistently applied to a formalized language and thus is not admissible.

• Observação: esta resposta está, parcialmente, correta pois, podemos utilizar linguagens formalizadas de ordem infinita (denumerável); não obstante, o ponto principal a ser destacado (no âmbito de linguagens formalizadas) é a possibilidade (ou não) da definibilidade do conceito de verdade, ao invés de expressabilidade de variações do significado de sentenças.

5ª. Pergunta: How this statement can be proved (in a logic-formal framework)? Resposta Chat GPT: Tarski's Conjecture can be proved using formal logic. First, one must define a formalized language by providing a set of symbols, an alphabet of symbols, and a set of rules for constructing symbols. Next, one must define a general semantics as an infinite set of terms that include all logically possible terms. Finally, one must show that it is impossible to create a consistent mapping between the finite set of symbols and the infinite set of terms required for a general semantics. This can be done by showing that there is no way to guarantee that all logically possible terms can be mapped to the finite set of symbols. This proves that a general semantics for a formalized language is not admissible.

• Observação: esta resposta, também, está parcialmente correta, haja vista que poderíamos recorrer à 'antinomia de Richard' para justificar que não haveria um meio para estabelecer uma aplicação definida entre o conjunto (finito) de fórmulas da linguagem e um conjunto, potencialmente, infinito de termos pressuposto por uma semântica universal. No entanto, esta abordagem não consiste, estrito senso, na ideia da prova, pois os procedimentos para a elaboração de uma prova da Conjectura de Tarski requer certos fundamentos como, p.ex., a construção de uma sequência transfinita de sequências transfinitas de sistemas axiomáticos (para a aritmética); a definição de uma semântica geral formalizada a partir desta construção (utilizando-se o esquema T de Tarski e uma generalização da regra ômega de Tarski) e, com base nessa definição, mostrar que, por meio esta hipótese, existe pelo menos uma sentença cuja verdade não é definível nesta semântica geral em virtude do metateorema da indefinibilidade da verdade de Tarski acima enunciado.

6ª. Pergunta: What are the logic-formal consequences of this result? Resposta Chat GPT: The logic-formal consequences of Tarski's Conjecture are that a general semantics cannot be applied to a formalized language. This means that the meaning of a sentence in a formalized language cannot be fully captured by a finite set of symbols. This has implications for how language is used in formal systems, such as computer programming, where the meaning of a sentence must be precisely understood in order to be executed properly. Additionally, it limits the use of formalized languages in fields such as philosophy, where meaning must be conveyed accurately in order to be understood.

• Observação: resposta aceitável do ponto de vista do significado de uma sentença.

7ª. Pergunta: With respect to the formal arithmetics? Resposta Chat GPT: Tarski's Conjecture has implications for formal arithmetics as well. In formal arithmetics, the meaning of a sentence must be precisely understood in order to be evaluated correctly. Therefore, the lack of a general semantics for formalized languages limits the ability to accurately evaluate mathematical expressions. Additionally, the lack of a general semantics makes it difficult to understand the meaning of certain mathematical terms, such as infinity, which cannot be fully expressed in a finite set of symbols.

• Observação: analogamente, resposta aceitável do ponto de vista do significado de sentenças aritméticas.

8ª. Pergunta: Is there some (published) proof of Tarski's Conjecture (above explained)? If yes, give a bibliographical reference, please. Resposta Chat GPT: Yes, there is a published proof of Tarski's Conjecture. The proof can be found in the book Logic, Semantics, Metamathematics, by Alfred Tarski (1956). The proof can be found in the section "A Conjecture on the Non-Admissibility of a General Semantics for Formalized Languages."

Observação: esta resposta está incorreta, pois não há uma secção denominada

"A Conjecture on the Non-Admissibility of a General Semantics for Formalized Languages."

na referência citada e, além disso, a Conjectura de Tarski não foi demonstrada por Tarski nesta coletânea de ensaios.

9ª. Pergunta: This response is not correct! Do you understand? Resposta Chat GPT: Yes, I understand now. The proof of Tarski's Conjecture can be found in the book Logic, Semantics, Metamathematics, by Alfred Tarski (1956). The proof can be found in the section "A Conjecture on the Non-Admissibility of a General Semantics for Formalized Languages."

Observação: repetição do equívoco anterior.

Do meu ponto de vista, de um modo geral, as respostas dadas pelo ChatGPT são: incipientes, parciais e requerem uma melhor elaboração mesmo sendo concisas. Há um aspecto falho com respeito às referências bibliográficas fornecidas.

Caso seja de interesse, no link abaixo há uma prova da referida Conjectura de Tarski:

Prova da Conjectura de Tarski